벡터장의 발산
벡터장의 발산을 구하는 공식을 알아보기 위해서 우선, 인풋으로 x,y 두 개를 받아서 output 으로 [p(x,y) 0 ] 이 나오게 하는 함수 v(x,y) 가 있다고 가정. 단순하게 생각하기 위해서 output 의 y 좌표는 0 으로 고정시켜놓은 것임. 즉 인풋 값 2개는 아웃풋 값의 x 좌표만을 결정하고, 영향을 미침.
∂p / ∂x > 0 이라면, 벡터장에서 출발점 x 가 조금씩 앞으로 이동함에 따라서 [p(x,y) 0] 도 점차 값이 증가할 것임. (이 때 그림을 보면 인풋 y 값도 0 에 고정해놓은 것 같다)
∂p / ∂x < 0 이라면, 반대의 경우 성립
이번엔 인풋 x 값도 0 으로 계속 고정해놓고, 아웃풋 x 값도 0 으로 계속 고정해놓는다면 다음과 같이 볼 수 있음.
특정 영역에서의 divergence 는 물방울의 흐름으로 봤을 때 해당 영역을 클로즈업 했다고 하면, 빠져나가는 애들이 들어오는 애들보다 많아야 함
따라서 두 식을 합친다면 div(x,y) = ∂p/∂x + ∂q/∂y 가 됨
예시
화살표의 길이를 보면 위 그림의 동그라미 친 영역에서 안으로 들어오는 물방울들보다 밖으로 빠져나가는 애들이 더 많음.
이렇게 내적으로 해석해줄 수도 있음.
인풋 값이 3개, 아웃풋 값이 3개여도 divergence 판별 공식은 동일
Curl
그런데 벡터장들이 물방울들의 이동을 나타낸다고 할 때 특정 영역들에서 물방울들이 시계방향, 혹은 시계 반대 방향으로 도는 신기한 현상이 발생함
특정 영역에서 이러한 curl 이 발생하는지 확인하는 법
2차원 좌표계이므로 2d curl
y 축으로 이동할 수록 P 값이 양수에서 음수가 되고 , x 축으로 이동할 수록 Q 값이 음수에서 양수가 되므로 다음 식이 성립함
예시
3d curl
여기서부터 외적이 등장하는 것 같다 !!
화살표가 향하는 방향이 시계 방향으로 도는지, 시계 반대 방향으로 도는지를 결정하고 (흰색 방향은 시계 반대 방향) , 흰색 화살표, 초록색 화살표의 길이 자체는 얼마나 빠르게 도는지 그 크기를 나타냄.
가령 아까 벡터장을 다시 그려주면 이와 같이 표현할 수 있음
