나선에서의 곡률 미분
도 동일한 방식으로 구해주면 됨.
인풋이 2개이고 아웃풋이 3개일 때 편미분
바로바로 복습을 했어야하는데 시간이 조금 지나서 제목이 이게 맞았나? 햇갈리지만
먼저 인풋이 존재하는 2차원 평면을 생각해준다.
시각화할 수 있는 영역은 한정적이므로 좀 더 직관적으로 나타내기 위해서 범위도 한정해준다.
이제 인풋이 아웃풋으로 변화는 과정을 보면
2차원 공간이 3차원으로 바뀜을 확인할 수 있다.
특별히 인풋의 한 좌표가 아웃풋으로 바뀌는 것을 확인해보면
인풋의 (1,1) 좌표를 찍어주었다.
1,1 에서 편미분이 어떻게 되는지 알아보기 위하여 x 축으로는 이동할 수 있으나 y 축으로는 변화할 수 없도록 제한해준다.
저 연두색 선이 x 축으로 아주 미세하게 변화하였음을 표시하였다면
아웃풋 3차원 공간으로 늘리면 연두색 선도 조금 늘어났다. 저 늘어난 선은 (인풋 공간에서의 변화량 ->) 아웃풋 공간에서의 변화량이기 때문에 dv 라고 할 수 있다.
그런데 dv / dt 를 해주기 때문에 dt = 0.0000000000…….1 이렇게 엄청 작은 값이기 때문에 dv / dt 는 dv 보다 값이 확 늘어난다.
벡터장의 미분
이러한 벡터장의 벡터가 있다고 했을 때 (1,2) -> (2,3)
인풋 (1,2) 에서 쪼금 x 축으로 앞으로 간다면 ? (= 쪼금 변화한다면 ?)
dv 의 의미가 위 그림의 하늘색 직선 임을 직관적으로 알 수 있다.
아까와 마찬가지로 dv /dx 를 해준다 (휘어진 d 기호 찾기가 귀찮아서 d 로 쓰는 중이다 =,= ) 그러면 선이 쭉 늘어난다.
위 그림을 이해했다면 다른 편미분 값들도 이해할 수 있다.
벡터장의 편미분 해석
편미분에는 위 네 가지 케이스가 있다.
dQ/dx 는 x 축으로 조금 움직였을 때 y 축에서의 변화이다. -2x 가 맞음이 확인된다.
벡터장을 통해서 어떠한 물방울들의 이동을 나타낼 수도 있다.
벡터장의 특성 상 물방울들이 한참 움직이다가 저 노란색 벡터의 출발점에 닿으면 끝 점으로 쭉 이동한다.
즉 위 벡터장에서 물방울들은 결국 중앙 영역에 모이게 된다.
반면 이번엔 물방울들이 중앙 밖으로 다 퍼지게 된다.
이를 통해서 벡터장의 발산 ? divergence 를 분류할 수 있다고 하고 강의가 마무리되었다. 솔직히 이 부분은 햇갈리는데 다음 강의에서 더욱 명확하게 알 수 있을 것 같다.
