curvature
어떠한 완전히 직선은 아니고 약간 휘어진 도로를 달리고 있는데 차가 갑자기 고장난다면 ? 아마 차를 아무리 더 움직이려고 해도 더 가지 못하고 제자리에 원을 그리면서 맴돌 것이다.
카트라이더를 상상하니까 이해가 확 갔다. 예전에 진짜 많이 했는데 추억이다 사진 출저 -사키엘의 블로그
차가 이렇게 고장날지 모르고 운전자는 분명 핸들을 꺾어서 도로를 나아가려고 했을 것이다. 도로가 많이 휜 지점에서 핸들이 막히게 되면 실제 끽 소리를 내며 그리는 원은 반대로 작을 것이다. 반면 도로가 대체로 직선에 가까운 곳에서 살짝 꺾으려고 했는데 핸들이 막히게 되면 끽 소리를 내며 그리는 원은 반대로 클 것이다. 즉 곡률은 반지름의 역수이다.
곡률의 미분
그림으로 그려보면 각 t 시점에서의 미분계수가 휘는 정도가 바뀌면서 계속 달라지는 것을 알 수 있다. 따라서 아주 미세하게 조금 앞으로 이동했을 때 도로의 휘어진 정도의 변화량은 내 변화량 (내가 이동한 만큼) 의 몇 배인지를 알아보려면 dT / ds 를 알아보아야한다. s는 아주 미세하게 저 반원 도로를 따라서 움직이는 것이다. T 는 각 t 시점에서의 미분계수인데 길이를 1로 normalize 해준다.
실제 저 도로에서의 t 시간에서의 위치를 나타내는 식이 S(t) 라고 하고 실제로 구해보면
S’(t) 벡터들의 길이를 1로 맞춰줘야지 T 의 식인 T(t) 가 나온다.
그런데 미션은 dT / dt 를 구하는 것이 아닌라 dT / ds 를 구하는 것이다. 이 부분이 조금 햇갈렸는데 dt 가 아닌 이유는 결국 저 반원 도로들을 느리게 운전해서 가든 빠르게 운전해서 가든 도로 자체의 곡률은 전혀 변함이 없기 때문이다. 따라서 dT / ds 를 도출하기 위해서 T, S 식은 모두 t 로 표현됐을 것이기 때문에 dT / dt / dS / dt 이렇게 간접적으로 구해준다.
S(t) 가 [ x(t) y(t)] 라고 하였을 때 직접 노가다로 계산을 해보면
위 파란 동그라미 속 식으로 도출된다. 따라서 저게 곡률의 미분 식이라고 할 수 있다.
진짜 dT/ds 가 곡률의 미분을 구하는 데 맞는 방법일지 의문이 간다면 위 식을 뜯어보면 맞는 접근이구나를 파악할 수 있다.
분모부터 살펴보면
분모의 저 식은 S’(t) 와 S’‘(t) 의 외적으로 볼 수 있다.
여기 그림은 정말 이해가 안 가는 나같은 구독자를 위해서 복잡한 원리는 다 배제하고 대략적인 느낌만이라도 알려주는 것 같다. S’(t) 의 값에 따라서 ; 왼쪽 그림의 핑크색 선들, S(t) 의 모양이 결정된다.
똑같은 원리로 S’‘(t) 의 값에 따라서 ;오른쪽 그림의 파란색 선들, S’(t) 의 모양이 결정된다.
또 외적의 원리 상 두 벡터의 외적은 두 벡터로 그려지는 평행사변형의 넓이와 같다.
많이 휘면 휠수록 평행사변형의 넓이가 커진다는 것을 알 수 있다.
그런데 똑같이 휨에도 불구하고 단순히 벡터의 길이 때문에 평행사변형이 넓어질 수 있다. 따라서 길이를 아래와 같이 조정해준다. 왜 분모는 저런 식이 나오는지를 파악하는 과정이다.
그리고 한 번 더 S’ 의 길이로 나눠주는 이유는 dT/ds 를 바로 구하는 것이 아닌 dt 를 이용해서 구함으로써 발생한 오차에 대한 처리라고 한다. (사실 명확히는 이해가 가지 않으나 대충 이런 느낌이구나는 알아들었다)
곡률은 아직도 엄청나게 햇갈린다. 상상하면 이해가 가려고 하는데 또 진짜 그래 ? 싶기도 하다. 왜 dT/ds 인지가 처음에는 생소할 수 있어서 나같은 초보가 최대한 납득할 수 있도록 어려운 과정을 간략하게나마 풀어준 강의였다.
카트라이더를 오랜 만에 한 판 정도 하면 감이 더 잘 올 것 같다 ㅋㅋㅋ ㅠㅠㅠ 🏎